Módulo 3

  Isabel W. Vásquez M.

Clase 1
Gráficas, funciones, magnitudes escalares y vectoriales

Queridos alumnos les doy la más cordial bienvenida a esta su primera clase del módulo N°3. que pertenece a gráficas, funciones, magnitudes escalares y vectoriales, en el cual se analizará la importancia de las representaciones gráficas para la descripción de un conjunto de datos, producto de una medición, se identificará las diferencias entre las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales y se utilizara métodos gráficos y analíticos para la suma y resta de vectores.

Gráficas y funciones 

Para empezar este módulo es fundamental que conozcamos de antemano que es una grafica. Una gráfica es una representación de datos numéricos mediante puntos y líneas que son dibujados generalmente en un plano cartesiano. Su uso permite analizar el comportamiento de un proceso o un conjunto de elementos. A continuación se presenta algunos ejemplos de ellas:

Ahora discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones.

Función lineal 

El gráfico lineal se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tenencia de los datos. La función lineal se define por la ecuación y = mx + b, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Variable dependiente y variable independiente 

• La variable dependiente es aquella que sólo se puedo medir. Esta variable se coloca en el eje vertical (eje y)
• variable independiente  es aquella que se puede controlar. Es decir, el experimentador  establece los valores que tendrá, esta se coloca en el eje horizontal (eje x)

Es importante que sepan que en una tabla de datos, en la primera columna se colocan las variables independientes (x) y en la segunda columna se colocan las variables dependientes (y).

Los elementos para construir una grafica son: 

1. Título de la grafica en el centro de la parte superior. 
2. Nombre asignado a los ejes coordenados (x, y), junto con sus unidades de medición entre paréntesis. 
3. Escala para cada uno de los ejes. Esta se coloca debajo del título de la gráfica. 
4. Los pares ordenados de datos posicionados sobre el plato cartesiano lo más exacto posible. 
5. Línea continua que uno los puntos colocados sobre el plano cartesiano.

La siguiente imagen muestra los elementos de una gráfica.

Les invito a ver el siguiente Slideshare en donde se muestra un ejemplo de gráfica de función lineal, con sus variables dependiente e independiente ordenadas en una tabla de datos, y explica como determinar la pendiente, los puntos de intersección y la ecuación del gráfico.

Función lineal from Isabel Vásquez

Función potencial

En un gran número de fenómenos físicos, las variables que intervienen no tienen un comportamiento lineal. Por ejemplo, si graficas el tiempo que demora un péndulo en dar una oscilación, en función de la longitud del péndulo, encontrarás que la gráfica en papel milimetrado no es una recta, sino que es una curva. En este caso se dice que la función es del tipo potencial.

Una función potencial es aquella en que la variable “y” es proporcional a otra variable “x” (llamada base) elevada una potencia “m” (llamada exponente o potencia de la función).

En la función potencial las variables se relacionan de la siguiente forma: 

Donde k y m son constantes distintas de cero. Esta forma potencial es muy común en las ciencias naturales, economía y muchas otras aplicaciones. Este caso la pendiente se obtiene de la siguiente forma: 

Para linealizar un gráfico potencial se debe utilizar un papel doblemente logarítmico o papel log-log. Para graficar en dicho papel lo primero que debes hacer es transformar los datos de la tabla en notación científica, para darnos cuenta de las potencias de base 10 que están asociadas a cada variable.

Les invito a ver el siguiente video en donde se muestra un ejemplo de como Linealizar una función potencial usando papel doblemente logarítmico.

 

Les invito a ver el siguiente Calaméo en donde se muestra un ejemplo de gráfica de función potencial, con sus variables dependiente e independiente ordenadas en una tabla de datos, y explica como determinar la pendiente, la constante y la ecuación del gráfico.

Función Potencial

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Magnitudes escalares y vectoriales

Una magnitud física es una cantidad medible de un sistema físico a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de medidas. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Las magnitudes que emplearemos en este curso de Física serán de dos tipos: escalares y vectoriales.

• Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo pero carecen de dirección.
• Las magnitudes vectoriales son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido y se representan por vectores. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc.

Les invito a ver el siguiente video en donde se explica el conceptos y ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales.

En el siguiente video podrán observar a través de ejemplos como convertir de coordenadas cartesianas a polares y viceversa. 

Suma y resta de vectores

Método analítico

En Física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque podemos recurrir a diversos métodos como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo, es importante tener en cuenta que la forma analítica nos conducirá a un resultado más exacto. Ahora veamos que necesitamos para comprender por completo el método analítico.

Les invito a ver el siguiente video sobre suma y resta de vectores escritos por componentes, en donde se da una explicación clara sobre el tema.

Suma de Vectores: Método Gráfico

La suma de vectores solamente esta definida para vectores de la misma naturaleza, en consecuencia no tiene sentido sumar vectores fuerza con vectores velocidad.

Existen 2 tipos de adición de vectores: gráfico y analítico.

Para utilizar métodos gráficos en la suma o resta de vectores, es necesario representar las cantidades en una escala de medición manipulable. Es decir, podemos representar un vector velocidad de 10 m/s hacia el norte con una flecha indicando hacia el eje y positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm representa una unidad de magnitud real para la cantidad (1 m/s).

El vector que resulta de operar dos o más vectores, es conocido como el vector resultante, o simplemente la resultante.

• El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores, con su magnitud a escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto.

Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando líneas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.

El vector suma resultante se representa a escala mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas. Ejemplo (VER AQUÍ)

• El método gráfico también conocido como el método del polígono consiste en dibujar los vectores como segmentos dirigidos con la dirección y sentido real de estos. 

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 La regla general para sumar vectores en forma gráfica (con regla y transportador), que de hecho es la definición de cómo se suman vectores, es la siguiente: Esta es una ecuación vectorial. Ejemplo (VER AQUÍ)

RESTA DE VECTORES: Método Gráfico

Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto. 

Método del paralelogramo

En el método del paralelogramo los vectores a sumar o restar deben coincidir en sus puntos de origen. Supongamos que queremos hallar u – v con nuestros vectores mostrados anteriormente, los pasos para encontrar la resta de vectores por este método son los siguientes:

1. Determinar el vector opuesto a v, que es –v, tal como se describió antes para el método del triángulo.
2. Trasladar cuidadosamente los vectores u y –v de tal manera que sus orígenes coincidan.
3. Ahora se trazan líneas paralelas segmentadas que parten desde los extremos de cada vector. La figura que se forma es un paralelogramo y en casos especiales en que los vectores sean perpendiculares, resulta un rectángulo o un cuadrado.

Fuente: F. Zapata.

4. Finalmente se traza un vector que parte del origen común de u y v hasta el extremo donde se cruzan las líneas paralelas segmentadas. Este es el vector D o sustracción.

RECUERDE: Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores, pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos unos ejemplo de suma y resta de vectores. 

  

A continuación les invitamos a escanear el siguiente código QR para obtener un documento con mayor información sobre las magnitudes escalares y vectoriales.

Bibliografía

• Álvarez Areces, Santiago; Fernández Flórez, Manuel (6 de 1990). Matemáticas, área formativa común, 1 FP, 1 grado (1 edición). Editorial Everest, S.A. p. 432.
• Larrauri Pacheco, Agustín (3 de 1997). Matemáticas, FP 1 (10 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 496.
• Alvarenga, B y Máximo, A, (1990). Física General con Experimentos Sencillos. Editorial Harla. México.
• Blatt, F. (1991). Fundamentos de Física. Editorial Mc Graw Hill. México. 
• Bueche, F.(1990). Fundamentos de Física. Editorial Mc Graw Hill. México. 
• Tippens, P. (1990). Física, Conceptos y Aplicaciones. Editorial Mc Graw Hill. México.
• Monsó Ferré, Fernando (2009). Física y Química 3º ESO. Barcelona (España): edebé. p. (1998).

Actividades

Elaboración de un mapa conceptual

El estudiante deberá elaborar un mapa conceptual, de manera individual, las magnitudes escalares y vectoriales, que incluya toda la información mostrada en este módulo, además puede utilizar referencias o fuentes bibliográficas adicionales a las mostradas para complementar el desarrollo de su asignación. 

Para la elaboración del mapa conceptual puede elegir También CmapTool Tutorial Paso a paso: 

(Ver aquí)

Plazo de entrega

El estudiante tendrá la plataforma habilitada para colocar su asignación hasta las 11:59 pm del día 26 de agosto  del 2021.

Procedimientos de envío

Escriba el enlace de acceso a su mapa conceptual dentro de un archivo de Word que debe subir a la plataforma Google Classroom como evidencia de su trabajo. Para enviar la asignación por la plataforma el nombre de los archivos debe incluir el apellido . Por ejemplo:

suApellido_suNombre_Magnitudes escalares y vectoriales.doc

Material de referencia

Adjunto ayudas y guías para elaborar el mapa conceptual, haz clic en el siguiente enlace: Magnitudes Físicas

Prueba formativa

Luego de haber culminado la lectura del módulo, realice el siguiente quiz formativo. De ser necesario vuelva a repasar la información mostrada en este módulo.